Transformada de Fourier

Teorema de Valor Promedio

Definición del Valor Promedio

El valor promedio de una colección finita de números \( x_1, x_2, \dots, x_n \) se obtiene sumando todos los valores y dividiendo entre la cantidad total de elementos:

\[ \text{Valor promedio} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}. \]

Cuando se trata de una función continua \( f(x) \) definida en un intervalo \([a, b]\), esta puede tomar infinitos valores. La pregunta es: ¿cómo se define el valor promedio de una función continua en un intervalo dado?

Un ejemplo cotidiano puede ilustrar este concepto. Supongamos que la temperatura en cierta ciudad varía a lo largo del día de manera continua. Decimos que la temperatura promedio del día fue de 28 grados Celsius, pero ¿qué significa esto exactamente?

Interpretación Geométrica

Para comprender mejor este concepto, primero consideremos una función constante \( c \) en el intervalo \([a, b]\). Su gráfica es un rectángulo de altura \( c \) y base \( b - a \). En este caso, el valor promedio de la función es simplemente \( c \), el cual se obtiene al dividir el área bajo la curva, es decir, el área del rectángulo \(A = c \cdot (b-a)\), entre su base \(b-a\):

Figura 1: Función constante \(f(x)=c\), y su área en el intervalo \([a, b]\).

\[ c = \frac{A}{b-a} = \frac{c \cdot (b-a)}{b-a}. \]

Dado que la altura se mantiene constante en todo el intervalo, la expresión anterior confirma que el valor promedio coincide con \( c \).

Figura 2: Área bajo la curva de una función y su equivalencia con el área de una función constante en el intervalo \([a, b]\).

Cuando la función no es constante, la situación se vuelve más compleja. Sin embargo, podemos asociar el área bajo la curva, \(A_1\), de la función \(f(x)\) no constante, con el área bajo la curva de un rectángulo cuya altura sea \(f(x)=c\), de modo que el área de dicho rectángulo sea \(A_2\). En este caso, se cumple la siguiente relación:

\[ A_2 = A_1, \]

donde el área del rectángulo se expresa como:

\[ A_2 = c \cdot (b-a), \]

y el área bajo la curva de la función no constante está dada por la integral definida:

\[ A_1 = \int_a^b f(x)dx. \]

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación anterior, obtenemos:

\[ c \cdot (b-a) = \int_a^b f(x)dx. \]

Finalmente, despejando \( c \), obtenemos la expresión matemática del valor promedio de una función continua \( f(x) \) en \([a, b]\):

\[ f_{\text{prom}} = c = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx. \]

Esta ecuación indica que el valor promedio de la función es igual al área bajo su curva dividida entre la longitud del intervalo \( b-a \). Es decir, geométricamente, podemos interpretar el valor promedio como la altura, \(c\), de un rectángulo de base \( b-a \) cuya área es equivalente a la región bajo la gráfica de la función.

Teorema del Valor Promedio para Integrales

El resultado anterior se conoce como el Teorema del Valor Promedio para Integrales, el cual asegura que si \(f(x)\) es integrable en el intervalo \([a,b]\), entonces, el valor promedio de \(f(x)\) en dicho intervalo (también llamado Media) es:

\[ f_{\text{prom}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx. \]

Ejemplos

Ejemplo 1

Problema:
Dada la función \( f(x) = h \) en el intervalo \( [0,a] \), graficar la función y encontrar el valor intermedio aplicando el teorema del valor medio para integrales.

Solución:
Al graficar la función, se observa que representa un rectángulo con altura \( h \) y base \( a \). Su área se calcula como:

\[ A = a \cdot h \]

Figura 3: Área bajo la curva de una función \(f(x) = h\) en el intervalo \([0, a]\).

Esta área coincide con la integral:

\[ \int_{0}^{a} h dx = h \cdot a. \]

El valor medio de la función en el intervalo se obtiene aplicando la fórmula:

\[ f_{\text{prom}} = \frac{1}{a} \int_{0}^{a} h dx = \frac{h \cdot a}{a} = h. \]

Ejemplo 2

Problema:
Dada la función \( f(x) = \frac{h}{a}x \) en el intervalo \( [0,a] \), graficar la función y encontrar el valor intermedio aplicando el teorema del valor medio para integrales.

Solución:
Al graficar la función, se observa que representa un triángulo con base \( a \) y altura \( h \). Su área es:

\[ A = \frac{1}{2} a h. \]

Figura 4: Área bajo la curva de una función \(f(x) = \frac{h}{a}x\) en el intervalo \([0, a]\).

Esta área coincide con la integral:

\[ \int_{0}^{a} \frac{h}{a}x dx = \frac{1}{2} a h. \]

El valor medio de la función se obtiene como:

\[ f_{\text{prom}} = \frac{1}{a} \int_{0}^{a} \frac{h}{a}x dx = \frac{\frac{1}{2} a h}{a} = \frac{h}{2}. \]

Ejemplo 3

Problema:
Dada la función \( f(x) = \sqrt{r^2 - x^2} \) en el intervalo \( [-r,r] \), graficar la función y encontrar el valor intermedio aplicando el teorema del valor medio para integrales.

Solución:
Al graficar la función, se observa que representa un semicírculo de radio \( r \). Su área es:

\[ A = \frac{1}{2} \pi r^2. \]

Figura 5: Área bajo la curva de una función \(f(x) = \sqrt{r^2-x^2}\) en el intervalo \([-r, r]\).

Esta área coincide con la integral:

\[ \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} dx. \]

Se sabe que esta integral equivale al área del semicírculo:

\[ \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} dx = \frac{1}{2} \pi r^2. \]

El valor medio de la función se obtiene como:

\[ f_{\text{prom}} = \frac{1}{2r} \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} dx = \frac{\frac{1}{2} \pi r^2}{2r} = \frac{\pi r}{4}. \]

Aplicaciones

Este concepto tiene múltiples aplicaciones en física, ingeniería y economía, permitiendo calcular valores medios de magnitudes como temperatura, velocidad, caudal y tasas de cambio en diferentes contextos.

Referencias

• Cálculo infinitesimal - Wikipedia
• Integral definida - Wikipedia
• Teorema del valor medio - Wikipedia
• Apostol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley.
• Stewart, James (2012). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. Cengage Learning.