Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier es una poderosa herramienta matemática que desempeña un papel fundamental en el análisis y procesamiento de señales. Además, la Transformada de Fourier juega un papel importante en la resolución de ecuaciones diferenciales, ya que permite transformar una ecuación diferencial en una ecuación algebraica en el dominio de la frecuencia. Desde su desarrollo por el matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier en el siglo XIX, esta transformada ha revolucionado diversos campos, como la física, la ingeniería, las telecomunicaciones y la ciencia de datos. En este artículo, exploraremos los conceptos básicos de la Transformada de Fourier.

Jean-Baptiste Joseph Fourier

¿Qué es la Transformada de Fourier?

La Transformada de Fourier es una técnica matemática que descompone una función o señal en sus componentes de frecuencia. Esta transformada convierte una señal en el dominio del tiempo en su representación en el dominio de la frecuencia, lo que permite analizar su contenido espectral y extraer información importante sobre ella.

La idea fundamental detrás de la Transformada de Fourier es que cualquier señal periódica puede descomponerse en una suma de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias. Estas ondas sinusoidales, conocidas como componentes de frecuencia, se representan mediante números complejos que indican la amplitud y fase de cada componente.

Aplicaciones de la Transformada de Fourier:

La Transformada de Fourier tiene una amplia gama de aplicaciones en diversas áreas. Algunos de los campos en los que se utiliza con frecuencia son:

1. Procesamiento de señales: La Transformada de Fourier permite analizar y manipular señales en el dominio de la frecuencia. Es ampliamente utilizada en la compresión de audio y video, filtrado de señales, detección de patrones y análisis espectral.

2. Telecomunicaciones: La Transformada de Fourier es esencial en la transmisión y recepción de señales en sistemas de comunicación. Permite el análisis de la calidad de la señal, la detección de interferencias y la recuperación de información en sistemas de modulación.

3. Imágenes y procesamiento de video: La Transformada de Fourier se aplica en el procesamiento de imágenes para realizar operaciones como filtrado de imágenes, compresión, eliminación de ruido y detección de bordes. También se utiliza en el análisis y compresión de secuencias de video.

4. Ciencia de datos: La Transformada de Fourier encuentra aplicaciones en el análisis de datos y la extracción de características en conjuntos de datos complejos. Se utiliza en el análisis de series de tiempo, reconocimiento de patrones, procesamiento de voz y análisis de espectros en diversas disciplinas científicas.

5. Resolución de ecuaciones diferenciales: Al aplicar la Transformada de Fourier a una ecuación diferencial, se puede convertir la ecuación en una ecuación algebraica en el dominio de la frecuencia. Esto simplifica el proceso de resolución, ya que las operaciones algebraicas suelen ser más sencillas que la manipulación de ecuaciones diferenciales.

Definición matematica de la Transformada de Fourier:

Aunque los problemas físicos nunca tienen un dominio infinito, se implementan formulaciones matemáticas en las cuales las variables independientes se extienden hasta el infinito. Esto permite estimar el comportamiento de muchos fenómenos físicos en los cuales la influencia de los límites reales en el dominio de interés sea despreciable. En este contexto, la Transformada de Fourier se convierte en una herramienta apropiada para resolver este tipo de problemas.

La Transformada de Fourier se denota como $\mathscr{F}[f]=F$, donde $f=f(x,t)$ es una función definida en un dominio extendido y $F$ es su correspondiente transformada de Fourier. La definición de la transformada de Fourier se muestra a continuación:

$$ F=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x,t) e^{i k x} dx.$$

Donde:

    $F(k)$ representa la transformada de fourier de la función  $f(x,t)$ .

    $k$ es una magnitud de frecuencia.

    $i$ es la unidad imaginaria ($\sqrt{-1}$).

    $e^{-ikx}$ es la función exponencial compleja.

 

La integral calcula la contribución de cada frecuencia $k$ al contenido espectral de la función $f(x,t)$.

 

 

 

Transformada de Fourier de algunas funciones
$f(x)$	$F(k)$
$e^{-\alpha x^2}$	$\frac{1}{\sqrt{4 \pi \alpha}}e^{-k^2/4\alpha}$

Propiedades de la Transformada de Fourier:

La Transformada de Fourier tiene varias propiedades importantes en el dominio del espacio. A continuación, se mencionan algunas de las propiedades más comunes:

• Linealidad: La Transformada de Fourier es una operación lineal, lo que significa que satisface las propiedades de aditividad y multiplicación por escalar. Es decir, para dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ y dos constantes $a$ y $b$, se cumple:

          $$\mathscr{F}[af(x) + bg(x)] = a\mathscr{F}[f(x)] + b\mathscr{F}[g(x)].$$

• Desplazamiento en el dominio del espacio: Si se realiza un desplazamiento en el dominio del espacio, es decir, se reemplaza $x$ por $x - x_0$, la Transformada de Fourier sufre un desplazamiento en el dominio de la frecuencia:

          $$\mathscr{F}[f(x - x_0)] = e^{-ik x_0}F(k).$$

• Modulación en el dominio del espacio: Si se realiza una modulación en el dominio del espacio, es decir, se multiplica la función por una función exponencial compleja $e^{i\omega x}$, la Transformada de Fourier sufre una modulación en el dominio de la frecuencia:

           $$\mathscr{F}[e^{i\omega x}f(x)] = F(k - \omega)$$

• Propiedad de la convolución: La Transformada de Fourier convierte la operación de convolución en una multiplicación en el dominio de la frecuencia. Si $h(x)$ es la convolución de las funciones $f(x)$ y $g(x)$, entonces se cumple:

          $$\mathscr{F}[h(x)] = F(k)\cdot G(k).$$

• Derivadas y antiderivadas: La Transformada de Fourier se relaciona con las derivadas y antiderivadas en el dominio del espacio. Para una función $f(x)$, se tiene:

          $$\mathscr{F}\left[\frac{d^n f(x)}{dx^n}\right] = (ik)^n F(k)$$

          $$\mathscr{F}\left[\int f(x) dx\right] = \frac{1}{ik}F(\omega) + 2\pi \delta(k).$$

Estas son solo algunas de las propiedades más comunes de la Transformada de Fourier en el dominio del espacio.

Transformada de Fourier de la derivada de una función:

Para obtener la transformada de Fourier de una función $f(x,t)$, se multiplica la función por el factor $e^{i k x}$ y se integra respecto a $x$. En el caso de la derivada $\frac{\partial f }{\partial t}$, su transformada de Fourier se calcula mediante la siguiente ecuación:

$$ \mathscr{F}\left [\frac{\partial f}{\partial t}  \right ]=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial f}{\partial t} e^{i k x} dx= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{\partial }{\partial t}  \int_{-\infty}^\infty  f e^{i k x} dx=\frac{\partial}{\partial t} \mathscr{F}\left [f  \right ]=  \frac{\partial F}{\partial t} .$$

Esta fórmula muestra que la transformada de Fourier de la derivada temporal de una función es igual a la derivada temporal de la transformada de Fourier de la función original.

El resultado más útil para resolver ecuaciones diferenciales parciales se obtiene al aplicar la transformada de Fourier a la derivada respecto a $x$, es decir, a $\frac{\partial f }{\partial x}$. A continuación se presenta la resolución de dicha transformada de Fourier:

$$\mathscr{F}\left [\frac{\partial f}{\partial x}  \right ]=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial f}{\partial x} e^{i k x} dx.$$

Para resolver la integral mencionada, se puede utilizar la técnica de integración por partes.  La regla de integración por partes establece que para dos funciones diferenciables $u(\overline{x})$ y $v(\overline{x})$, la integral de su producto puede expresarse como

$$\int u(x)v'(x)= u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)$$

Donde $u(x)$ y $v(x)$ son las funciones diferenciables involucradas en la integral, y $u'(x)$ y $v'(x)$ son sus respectivas derivadas respecto a $x$. Esta regla nos permite simplificar la integral original descomponiéndola en dos términos y evaluando la integral de uno de ellos mientras diferenciamos el otro. Definiendo

$$u'(x)=\frac{\partial \overline{f} }{\partial x}, \quad v(x)= e^{i k x},$$

$$ u = \overline{f}, \quad dv= i k e^{i k x}.$$

Considerando las definiciones dadas, podemos aplicar la regla de integración por partes para resolver la integral en cuestión

$$\mathscr{F}\left [\frac{\partial \overline{f}}{\partial \overline{x}}  \right ]=\frac{1}{\sqrt{2\pi} }\left[\left. f e^{i k x}\right|_{-\infty}^{\infty} - i k \int_{-\infty}^\infty f e^{i k x} dx\right].$$

Expandienso esta ultima ecuación

$$\mathscr{F}\left [\frac{\partial \overline{f}}{\partial \overline{x}}  \right ]=\frac{1}{\sqrt{2\pi} }\left[ -f(x \to \infty,t) e^{i k x \to \infty}  -f(x \to -\infty,t) e^{i k x \to -\infty} \right]- i k \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f e^{i k x} dx.$$

Considerando las condiciones laterales $f(x \to -\infty,t)=0$ y $f(x \to \infty,t)=0$, el término entre corchetes en lado derecho en la ecuación anterior desaparece.  Entonces, la ecuación anterior se reescribe como se muestra a continuación 

$$\mathscr{F}\left [\frac{\partial \overline{f}}{\partial \overline{x}}  \right ]= - i k \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f e^{i k x} dx.$$

Teniendo en cuenta la definición de la transformada de Fourier, la ecuación anterior toma la forma siguiente

$$\mathscr{F}\left [\frac{\partial \overline{f}}{\partial \overline{x}}  \right ]= - i k \mathscr{F}\left [f \right ] =i k F.$$

Esta fórmula muestra que la transformada de Fourier de la derivada en $x$ de una función es proporcional a la transformada de Fourier de la función original, multiplicada por el factor $i k$, donde $k$ representa la frecuencia en el dominio espacial.

Transformada de Fourier de la segunda derivada de una función:

Para calcular la transformada de Fourier de la segunda derivada $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ de una función, se utiliza la siguiente expresión:

$$\mathscr{F}\left [\frac{\partial^2 f }{\partial x^2}  \right ]=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2 f }{\partial x^2} e^{i k x} dx.$$

Utilizando el cambio de variable $y=\frac{\partial f }{\partial x}$ la ecuación anterior toma la siguiente forma

$$\mathscr{F}\left [\frac{\partial^2 f }{\partial x^2}  \right ]=\mathscr{F}\left [\frac{\partial y }{\partial x}  \right].$$

Aplicando el resultado obtenido para la transformada de Fourier de la derivada de una funcion, obtenemos

 $$\mathscr{F}\left [\frac{\partial y }{\partial x}  \right]= -i k  \mathscr{F}\left [y  \right ] =  -i k \mathscr{F}\left [\frac{\partial f }{\partial x} \right ] = (-ik)^2\mathscr{F}\left [f  \right ] =(-ik)^2 F.$$

Por lo tanto, la transformada de Fourier de la segunda derivada de una función es: 

$$\mathscr{F}\left [\frac{\partial^2 f }{\partial x^2}  \right ]=(-ik)^2 F.$$

Aplicando en metodo anterior se puede demostrar que la la transformada de Fourier de la n-ésima de una función con respecto a $x$ es

$$\mathscr{F}\left [\frac{\partial^n f }{\partial x^n}  \right ]=(-ik)^n F.$$

Inversa de la Transformada de Fourier

La inversa de la Transformada de Fourier, denotada como $\mathscr{F}^{-1}$, es una operación que permite recuperar una función en el dominio original a partir de su transformada de Fourier en el dominio de la frecuencia.

Dada una función $F(k)$ en el dominio de la frecuencia, la inversa de la Transformada de Fourier se define de la siguiente manera:

$$f(x) = \mathscr{F}^{-1}[F(k)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(k) e^{ik x} dk$$

En esta expresión, $k$ es la variable de frecuencia, $x$ es la variable en el dominio original y $F(k)$ es la transformada de Fourier de la función $f(x)$.

La integral en la fórmula de la inversa de la Transformada de Fourier se conoce como la integral de inversión y se extiende sobre todo el rango de frecuencias. El factor $\frac{1}{2\pi}$ es una constante de normalización que puede variar dependiendo de la convención utilizada en la definición de la Transformada de Fourier. La inversa de la Transformada de Fourier permite recuperar la función original a partir de su representación en el dominio de la frecuencia. 

Es importante tener en cuenta que en algunos casos, la inversa de la Transformada de Fourier puede requerir técnicas adicionales o aproximaciones, especialmente cuando la función en el dominio de la frecuencia tiene propiedades singulares o no es conocida de manera analítica. En tales casos, se pueden utilizar métodos numéricos o algoritmos de aproximación para obtener una estimación de la función en el dominio original.

Transformada de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales:

Para ilustrar cómo se aplica la Transformada de Fourier en la resolución de una ecuación diferencial, consideremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Resolución de la ecuación diferencial

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \frac{\partial f}{\partial t} = 0,$$

con la condición inicial $f(x,0) = g(x)$.

Paso 1: Aplicar la Transformada de Fourier

Aplicamos la Transformada de Fourier a la ecuación diferencial y a las condiciones iniciales. Utilizaremos la variable $k$ para la frecuencia en el dominio espacial.

La Transformada de Fourier de la segunda derivada espacial $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ es:

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=(i k)^2F,$$

entonces, nuestra ecuación diferencial se convierte en 

$$(ik)^2F(\omega, t) - \frac{\partial F}{\partial t}= 0.$$

Paso 2: Resolver la ecuación resultante

Resolvemos la ecuación obtenida en el paso anterior en términos de la transformada de Fourier $F(k, t)$.

$$\frac{\partial F}{\partial t}- (ik)^2F(k, t)= 0.$$

La ecuación anterior es una ecuación diferencial de primer orden, lineal y homogenea. Esta ultima ecuación tiene la siguiente solución:

$$F(k, t)=c e^{(i k)^2 t},$$

donde $c$ se obtiene a partir de la condición inicial transformada:

$$F(k,0) = G(k)=c e^{0},$$

entonces,  $G(k)=c$ y nuestra solución toma la forma siguiente

$$F(k, t)=G(k) e^{(i k)^2 t}.$$

Paso 3: Realizar la inversa de la Transformada de Fourier

Aplicamos la inversa de la Transformada de Fourier para obtener la solución en el dominio original.

$$f(x, t) = \mathscr{F}^{-1}\left[G(k) e^{(i k)^2 t}\right]$$

Es importante destacar que la resolución completa de la ecuación diferencial requiere realizar las transformadas de Fourier inversas y depende de la función $G(k)$, en algunos casos, pueden ser necesarias técnicas adicionales para obtener la solución final en términos explícitos.

Este ejemplo ilustra el proceso general de aplicación de la Transformada de Fourier en la resolución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, la complejidad de la resolución puede variar según la naturaleza de la ecuación diferencial y las condiciones iniciales y de contorno asociadas.

Conclusión:

Una de las aplicaciones más destacadas de la Transformada de Fourier es su uso en la resolución de ecuaciones diferenciales. Al aplicar la Transformada de Fourier a una ecuación diferencial, se puede convertir la ecuación en una ecuación algebraica en el dominio de la frecuencia. Esto simplifica el proceso de resolución, ya que las operaciones algebraicas suelen ser más sencillas que la manipulación de ecuaciones diferenciales.

La transformada de Fourier también permite resolver ecuaciones diferenciales parciales, ya que se puede aplicar de manera independiente a cada variable espacial. Esto facilita el análisis de fenómenos físicos y la obtención de soluciones en dominios espaciales complejos.

Además, la Transformada de Fourier es especialmente útil para resolver problemas con condiciones iniciales y de contorno. Al transformar la ecuación diferencial junto con las condiciones iniciales y de contorno, se pueden obtener soluciones en el dominio de la frecuencia y luego invertir la transformada para obtener la solución en el dominio original.

En resumen, la Transformada de Fourier es una herramienta esencial para resolver ecuaciones diferenciales, ya que simplifica el proceso de resolución y permite analizar fenómenos complejos en el dominio de la frecuencia. Su uso ha tenido un impacto significativo en diversos campos de la ciencia y la ingeniería, permitiendo comprender y modelar una amplia gama de fenómenos físicos.

Autor: Dr. Shamir Bahena Jimenez